(cos~a + i~ sin~a)^n = cos(na) + i~sin(na)\\
On va démontrer la formule par récurrence pour n dans N.
Initialisation:
Si n = 0
(cos~a~+~i~sin~a)^0~ =~ 1\\ cos(0a)~+~i~sin(0a)~ =~ cos~0~=~1
Hérédité:
Si pour un n, entier naturel, on a la proposition suivante qui est vraie:
\text{\textquotedblleft}(cos~a~+~i~sin~a)^n~ = ~cos(na)~+~i~sin(na)"
Alors
\begin{align*} (cos~a~+~i~sin~a)^{n+1}~ = ~ (cos~a~+~i~sin~a)(cos~a~+~i~sin~a)^n \\[0.15int] (cos~a~+~i~sin~a)^{n+1}~ = ~ (cos~a~+~i~sin~a)(cos(na)~+~i~sin(na)) \\[0.15int] (cos~a~+~i~sin~a)^{n+1}~ = ~ cos~a~cos(na)~+~i~cos~a~sin(na)\\ +~i~sin~a~cos(na)~-~sin~a~sin(na) \\[0.15int] (cos~a~+~i~sin~a)^{n+1}~ = ~ cos~a~cos(na)~-~sin~a~sin(na)\\ +~i(cos~a~sin(na)+~sin~a~cos(na)) \end{align*}
En utilisant les formules d’addition, on obtient:
(cos~a~+~i~sin~a)^{n+1}~ = ~cos~(n+1)a~+~i~sin~(n+1)a\\
Il y a hérédité, donc d’après l’axiome de récurrence la propriété est vraie pour tout n, entier naturel.