Formule de Moivre

(cos~a + i~ sin~a)^n = cos(na) + i~sin(na)\\

On va démontrer la formule par récurrence pour n dans N.

Initialisation:

Si n = 0

(cos~a~+~i~sin~a)^0~  =~  1\\
cos(0a)~+~i~sin(0a)~ =~ cos~0~=~1

Hérédité:

Si pour un n, entier naturel, on a la proposition suivante qui est vraie:

\text{\textquotedblleft}(cos~a~+~i~sin~a)^n~ = ~cos(na)~+~i~sin(na)"

Alors

\begin{align*}
(cos~a~+~i~sin~a)^{n+1}~ = ~ (cos~a~+~i~sin~a)(cos~a~+~i~sin~a)^n \\[0.15int]
(cos~a~+~i~sin~a)^{n+1}~ = ~ (cos~a~+~i~sin~a)(cos(na)~+~i~sin(na)) \\[0.15int]
(cos~a~+~i~sin~a)^{n+1}~ = ~ cos~a~cos(na)~+~i~cos~a~sin(na)\\ +~i~sin~a~cos(na)~-~sin~a~sin(na) \\[0.15int]
(cos~a~+~i~sin~a)^{n+1}~ = ~ cos~a~cos(na)~-~sin~a~sin(na)\\ +~i(cos~a~sin(na)+~sin~a~cos(na))
\end{align*}

En utilisant les formules d’addition, on obtient:

(cos~a~+~i~sin~a)^{n+1}~ = ~cos~(n+1)a~+~i~sin~(n+1)a\\

Il y a hérédité, donc d’après l’axiome de récurrence la propriété est vraie pour tout n, entier naturel.

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