Démonstration – 1peu2maths

Formules d’addition

On veut démontrer que:

cos (a+b) = cos~ a~ cos~ b - sin~ a~ sin~ b\\ sin (a+b) = cos~ a~ sin~ b + cos~ b~ sin~ a

Prérequis:

Propriété 1: e^ia = cos a + i sin a

Propriété 2: e^i(a+b) = e^ia . e^ib

\begin{align*} e^{i(a+b)} = cos (a+b) +i sin (a+b) \\[0.1int] e^{ia} .~e^{ib} = (cos~a + i~sin~a)( cos~b + i~sin~b) \\[0.1int] e^{ia} .~e^{ib} = cos~a~cos~b~+~i~cos~a~sin~b~\\ +~i~sin~a~cos~b~-~sin~a~sin~b \\[0.1int] \end{align*}

On regroupe les parties réelles et imaginaires

D’où:

cos (a+b) = cos~ a~ cos~ b - sin~ a~ sin~ b\\ sin (a+b) = cos~ a~ sin~ b + cos~ b~ sin~ a

(cos~a + i~ sin~a)^n = cos(na) + i~sin(na)\\

On va démontrer la formule par récurrence pour n dans N.

Initialisation:

Si n = 0

(cos~a~+~i~sin~a)^0~ =~ 1\\ cos(0a)~+~i~sin(0a)~ =~ cos~0~=~1

Hérédité:

Si pour un n, entier naturel, on a la proposition suivante qui est vraie:

\text{\textquotedblleft}(cos~a~+~i~sin~a)^n~ = ~cos(na)~+~i~sin(na)"

Alors

\begin{align*} (cos~a~+~i~sin~a)^{n+1}~ = ~ (cos~a~+~i~sin~a)(cos~a~+~i~sin~a)^n \\[0.15int] (cos~a~+~i~sin~a)^{n+1}~ = ~ (cos~a~+~i~sin~a)(cos(na)~+~i~sin(na)) \\[0.15int] (cos~a~+~i~sin~a)^{n+1}~ = ~ cos~a~cos(na)~+~i~cos~a~sin(na)\\ +~i~sin~a~cos(na)~-~sin~a~sin(na) \\[0.15int] (cos~a~+~i~sin~a)^{n+1}~ = ~ cos~a~cos(na)~-~sin~a~sin(na)\\ +~i(cos~a~sin(na)+~sin~a~cos(na)) \end{align*}

En utilisant les formules d’addition, on obtient:

(cos~a~+~i~sin~a)^{n+1}~ = ~cos~(n+1)a~+~i~sin~(n+1)a\\

Il y a hérédité, donc d’après l’axiome de récurrence la propriété est vraie pour tout n, entier naturel.

\text{AB = AC = AD = rayon du cercle} \\[0.15int] \text{DC est un diamètre du cercle.} \\[0.15int] \text{Dans un triangle, la somme des angles vaut 180°.} \\[0.15int] \text{Les triangles ABD et ABC sont isocèles en A.} \\[0.15int] \text{On en déduit que:} \\[0.15int] \mathrm{180°-2\alpha+180°-2\beta=180°} \\[0.15int] \mathrm{180°=2\alpha+2\beta} \\[0.15int] \mathrm{90°=\alpha+\beta} \\[0.15int] \text{Donc le triangle DBC est rectangle en B.}