\underline{\textbf{Méthode pour calculer BC :}}
1. Déterminer la longueur du côté [DB]
Utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle DAB rectangle en A.
2. En déduire la longueur du côté [BC]
Utiliser la loi des cosinus dans le triangle quelconque DBC.
\underline{\textbf{Calcul de DB :}} \\[0.1int]
\textrm{Le triangle DAB est rectangle en A,} \\
\textrm{d'après le théorème de Pythagore on a :} \\[0.1int]
\begin{align*}
\mathrm{DB^2} &= \mathrm{DA^2+AB^2} \\[0.05int]
\mathrm{DB^2} &= \mathrm{100^2+300^2} \\[0.05int]
\mathrm{DB^2} &= \mathrm{10~000+90~000} \\[0.05int]
\mathrm{DB^2} &= \mathrm{100~000} \\[0.05int]
\mathrm{DB} &= \mathrm{\sqrt{100~000}\approx{316,2~mm}} \\[0.05int]
\mathbf{DB} &= \mathbf{316~mm, après~arrondi.} \\[0.05int]
\end{align*}\underline{\textbf{Calcul de BC :}} \\
\textit{1ère méthode : Avec la valeur exacte de DB} \\[0.1int]
\textrm{Le triangle DBC est quelconque,} \\
\textrm{d'après la loi des cosinus on a :} \\[0.1int]
\begin{align*}
\mathrm{BC^2} &= \mathrm{BD^2+DC^2-2~BD \times DC \times
cos(\widehat{DBC})} \\[0.05int]
\mathrm{BC^2} &= \mathbf{\sqrt{100~000}} \mathrm{^2 +700^2-2 \times} \mathbf{\sqrt{100~000}} \mathrm{\times 700 \times cos(65°)}
\\[0.05int]
\mathrm{BC^2} &= \mathrm{100~000+490~000-1400 \times \sqrt{100~000}
\times cos(65°)} \\[0.05int]
\mathrm{BC^2} &\approx \mathrm{402~898,919} \\[0.05int]
\mathrm{BC} &\approx \mathrm{\sqrt{402~898,919}} \\[0.05int]
\mathrm{BC} &\approx \mathrm{634,7} \\[0.05int]
\mathbf{BC} &= \mathbf{635~mm, après~arrondi.} \\[0.05int]
\end{align*}\underline{\textbf{Calcul de BC :}} \\
\textit{2ème méthode : Avec la valeur arrondie de DB} \\[0.1int]
\textrm{Le triangle DBC est quelconque,} \\
\textrm{d'après la loi des cosinus on a :} \\[0.1int]
\begin{align*}
\mathrm{BC^2} &= \mathrm{BD^2+DC^2-2~BD \times DC \times
cos(\widehat{DBC})} \\[0.05int]
\mathrm{BC^2} &= \mathbf{316} \mathrm{^2+700^2-2 \times}
\mathbf{316} \mathrm{\times 700 \times cos(65°)} \\[0.05int]
\mathrm{BC^2} &= \mathrm{99~856+490~000-1400 \times \sqrt{100~000}
\times cos(65°)} \\[0.05int]
\mathrm{BC^2} &\approx \mathrm{402~889,681} \\[0.05int]
\mathrm{BC} &\approx \mathrm{\sqrt{402~889,681}} \\[0.05int]
\mathrm{BC} &\approx \mathrm{634,7} \\[0.05int]
\mathbf{BC} &= \mathbf{635~mm, après~arrondi.} \\[0.05int]
\end{align*}N.B.: La loi des cosinus est aussi appelée le théorème d’Al-Kashi.