Catégorie : Correction
Escalier 2

\underline{\mathrm{Méthode~pour~déterminer:}} \\[0.05int] \mathrm{-~les~angles~ \widehat{CBA}~et~\widehat{CAB}} \\ \mathrm{-~les~longueurs~ CB~et~CD}
\mathit{1. Déterminer~la~valeur~de~l~'angle~ \widehat{CBA}}\\[0.05int] \textrm{Utiliser la loi des sinus dans} \\ \textrm{ le triangle quelconque ABC.}\\[0.1int] \mathit{2. En~déduire~la~valeur~de~l~'angle~ \widehat{CAB}}\\[0.05int] \textrm{Propriétés des triangles.} \\[0.1int] \mathit{3.Déterminer~la~longueur~du~côté~[CB]}\\[0.05int] \textrm{Utiliser la loi des cosinus dans} \\ \textrm{ le triangle quelconque ABC.}\\[0.1int] \mathit{4. Déterminer~la~longueur~du~côté~[CD]} \\[0.05int] \textrm{Utiliser la loi des cosinus dans} \\ \textrm{ le triangle quelconque CBD.}\\[0.1int]
\underline{\mathbf{1. Calcul~de~ \widehat{CBA}}}\\[0.05int] \textrm{Le triangle CBA est quelconque,} \\ \textrm{d'après la loi des sinus on a :} \\[0.2int] \mathrm{\frac{CA}{sin~\widehat{CBA}} = \frac{CB}{sin~\widehat{CAB}} = \frac{AB}{sin~\widehat{ACB}}} \\[0.2int] \textrm{On remplace :} \\[0.1int] \mathrm{\frac{200}{sin~\widehat{CBA}} = \frac{CB}{sin~\widehat{CAB}} = \frac{700}{sin~80}} \\[0.2int] \mathrm{\frac{200}{sin~\widehat{CBA}} = \frac{700}{sin~80°}} \\[0.2int] \begin{align*} \mathrm{sin~\widehat{CBA}} &= \mathrm{\frac{200 \times sin (80°)}{700}} \\[0.2int] \mathrm{\widehat{CBA}} &= \mathrm{Arcsin( \frac{200 \times sin (80°)}{700}}) \\[0.2int] \mathrm{\widehat{CBA}} &\approx \mathrm{16,342°} \\[0.2int] \mathbf{\widehat{CBA}} &= \mathbf{16°, après~arrondi.} \\[0.2int] \end{align*}
\underline{\mathbf{2. Calcul~de~ \widehat{CAB}}}\\[0.05int] \textrm{La somme des angles dans un triangle vaut 180°, donc :} \\[0.2int] \mathrm{\widehat{ACB} + \widehat{CBA}+\widehat{CAB} = 180°} \\[0.2int] \begin{align*} \mathrm{\widehat{CAB}} &= \mathrm{180° - \widehat{CBA} - \widehat{CAB}} \\[0.2int] \mathrm{\widehat{CAB}} &= \mathrm{180° - 80° - 16°} \\[0.2int] \mathbf{\widehat{CAB}} &= \mathbf{84°} \\[0.2int] \end{align*}
\underline{\mathbf{3. Calcul~de~ CB}} \\[0.05int] \textrm{Le triangle ABC est quelconque,} \\ \textrm{d'après la loi des cosinus on a :} \\[0.2int] \begin{align*} \mathrm{AB^2} &= \mathrm{AC^2+CB^2-2~AC \times CB \times cos(\widehat{ACB})} \\[0.05int] \mathrm{700^2} &= \mathrm{200^2 +CB^2-2 \times 200 \times CB \times cos(80°)} \\[0.05int] \mathrm{490~000} &= \mathrm{40~000 +CB^2- 400 \times CB \times cos(80°)} \\[0.05int] \mathrm{450~000} &= \mathrm{CB^2- 400 \times CB \times cos(80°)} \\ \end{align*}\\[0.2int] \mathrm{CB^2- 400 \times CB \times cos(80°) -450~000 = 0} \\[0.05int] \textrm{L'équation du dessus est une équation de degré 2.} \\[0.2int] \textrm{On pose : CB = x} \\[0.2int] \textrm{Pour calculer CB, il faut résoudre l'équation :} \\[0.2int] \mathrm{x^2- 400 \times cos(80°) \times x -450~000 = 0} \\[0.05int]
Représentation graphique et résolution

\begin{align*} \mathrm{CB} &\approx \mathrm{706,45} \\[0.05int] \mathbf{CB} &= \mathbf{706~mm, après~arrondi.} \\[0.05int] \end{align*}\\[0.2int] \textit{N.B.: Cette méthode de résolution est plus longue}\\ \textit{ qu'en utilisant la loi des sinus mais elle est plus précise.}
\underline{\mathbf{4. Calcul~de~ CD}} \\[0.05int] \textrm{Le triangle CBD est quelconque,} \\ \textrm{d'après la loi des cosinus on a :} \\[0.2int] \begin{align*} \mathrm{CD^2} &= \mathrm{CB^2+BD^2-2~CB \times BD \times cos(\widehat{CBD})} \\[0.05int] \mathrm{CD^2} &= \mathrm{706^2 + 330^2-2 \times 706 \times 330 \times cos(80°)} \\[0.05int] \mathrm{CD^2} &= \mathrm{607~336 - 465~960 \times cos(80°)} \\[0.05int] \mathrm{CD^2} &= \mathrm{\sqrt{607~336 - 465~960 \times cos(80°)}}\\[0.05int] \mathrm{CD} &\approx \mathrm{725,550}\\[0.05int] \mathbf{CD} &= \mathbf{726~mm, après~arrondi.} \\ \end{align*}\\[0.05int]
Escalier 1
\underline{\textbf{Méthode pour calculer BC :}}

1. Déterminer la longueur du côté [DB]
Utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle DAB rectangle en A.
2. En déduire la longueur du côté [BC]
Utiliser la loi des cosinus dans le triangle quelconque DBC.
\underline{\textbf{Calcul de DB :}} \\[0.1int] \textrm{Le triangle DAB est rectangle en A,} \\ \textrm{d'après le théorème de Pythagore on a :} \\[0.1int] \begin{align*} \mathrm{DB^2} &= \mathrm{DA^2+AB^2} \\[0.05int] \mathrm{DB^2} &= \mathrm{100^2+300^2} \\[0.05int] \mathrm{DB^2} &= \mathrm{10~000+90~000} \\[0.05int] \mathrm{DB^2} &= \mathrm{100~000} \\[0.05int] \mathrm{DB} &= \mathrm{\sqrt{100~000}\approx{316,2~mm}} \\[0.05int] \mathbf{DB} &= \mathbf{316~mm, après~arrondi.} \\[0.05int] \end{align*}
\underline{\textbf{Calcul de BC :}} \\ \textit{1ère méthode : Avec la valeur exacte de DB} \\[0.1int] \textrm{Le triangle DBC est quelconque,} \\ \textrm{d'après la loi des cosinus on a :} \\[0.1int] \begin{align*} \mathrm{BC^2} &= \mathrm{BD^2+DC^2-2~BD \times DC \times cos(\widehat{DBC})} \\[0.05int] \mathrm{BC^2} &= \mathbf{\sqrt{100~000}} \mathrm{^2 +700^2-2 \times} \mathbf{\sqrt{100~000}} \mathrm{\times 700 \times cos(65°)} \\[0.05int] \mathrm{BC^2} &= \mathrm{100~000+490~000-1400 \times \sqrt{100~000} \times cos(65°)} \\[0.05int] \mathrm{BC^2} &\approx \mathrm{402~898,919} \\[0.05int] \mathrm{BC} &\approx \mathrm{\sqrt{402~898,919}} \\[0.05int] \mathrm{BC} &\approx \mathrm{634,7} \\[0.05int] \mathbf{BC} &= \mathbf{635~mm, après~arrondi.} \\[0.05int] \end{align*}
\underline{\textbf{Calcul de BC :}} \\ \textit{2ème méthode : Avec la valeur arrondie de DB} \\[0.1int] \textrm{Le triangle DBC est quelconque,} \\ \textrm{d'après la loi des cosinus on a :} \\[0.1int] \begin{align*} \mathrm{BC^2} &= \mathrm{BD^2+DC^2-2~BD \times DC \times cos(\widehat{DBC})} \\[0.05int] \mathrm{BC^2} &= \mathbf{316} \mathrm{^2+700^2-2 \times} \mathbf{316} \mathrm{\times 700 \times cos(65°)} \\[0.05int] \mathrm{BC^2} &= \mathrm{99~856+490~000-1400 \times \sqrt{100~000} \times cos(65°)} \\[0.05int] \mathrm{BC^2} &\approx \mathrm{402~889,681} \\[0.05int] \mathrm{BC} &\approx \mathrm{\sqrt{402~889,681}} \\[0.05int] \mathrm{BC} &\approx \mathrm{634,7} \\[0.05int] \mathbf{BC} &= \mathbf{635~mm, après~arrondi.} \\[0.05int] \end{align*}
N.B.: La loi des cosinus est aussi appelée le théorème d’Al-Kashi.
Porte 1
Taille d’une double porte

\textrm{AB = 4243 mm} \\ \textrm{AB est la diagonale d'une porte.} \\[0.1int] \textrm{ABC est un triangle rectangle, donc:} \\[0.1int] \textrm{cos } \widehat{A} \textrm{ = } \mathrm{\frac{adjacent}{hypothénuse}} \textrm{ = } \mathrm{\frac{AC}{AB}} \\[0.1int] \textrm{cos 45°} \textrm{ = } \mathrm{\frac{AC}{4243}} \\[0.1int] \textrm{AC = 4243} \times \textrm{cos 45°} \\[0.1int] \mathrm{AC \approx 3000,25~mm (arrondi~au~centième)} \\[0.1int] \textrm{La longueur de la porte est d'au moins } \\ \textrm{6000 mm, donc d'au moins 6 m.}
Feuille A4

Porte 2

\mathrm{AC=\frac{5}{2}=2,5 m} \\[0.3int] \underline{\textrm{Le triangle ABC est rectangle en C, donc :}} \\[0.1int] \mathrm{tan~40° = \frac{BC}{AC}= \frac{BC}{2,5}} \\[0.1int] \mathrm{BC=2,5~tan~40°} \\[0.1int] \textrm{BC = 2,1 m} \\[0.3int] \textrm{La hauteur de la porte est de 2,1 m.} \\[0.1int]
Escalier 2
On se place dans le triangle BAH rectangle en H.
AH est le côté opposé à l’angle B et BH est le côté adjacent.

\mathrm{tan~\widehat{ABC} = \frac{500}{100}=5} \\[0.1int] \mathrm{\widehat{ABC} = arctan(5)} \\[0.1int] \mathrm{\widehat{ABC} = 79° , après~arrondi.}
\textrm{Dans un triangle, la somme des angles vaut 180°,} \\[0.1int] \mathrm{D'où : \widehat{BAH} + \widehat{AHB} + \widehat{ABH}=180°} \\[0.1int] \mathrm{\widehat{ABC}=\widehat{ABH}= 79°} \\[0.1int] \mathrm{\widehat{AHB}=90°} \\[0.1int] \mathrm{\widehat{BAH} + 90° + 79°=180°} \\[0.1int] \mathrm{\widehat{BAH} = 180°-90°-79°=11°} \\[0.1int] \textbf{Dans~le~triangle~BAH : }\mathrm{\widehat{HAB} =11°} \\[0.1int] \textbf{Dans~le~quadrilatère~ABCD : } \\ \mathrm{\widehat{BAD} =11°+90° = 101°}
N.B. : arctan = atan = tan-1 . Les 3 notations existent sur les calculatrices.
Escalier 1
On se place dans le triangle BHC rectangle en H.
CH est le côté opposé à l’angle B et BH est le côté adjacent.

\mathrm{tan~\widehat{ABC} = \frac{600}{200}=3} \\[0.1int] \mathrm{\widehat{ABC} = arctan(3)} \\[0.1int] \mathrm{\widehat{ABC} = 72° , après~arrondi.}
\textrm{Dans un triangle, la somme des angles vaut 180°,} \\[0.1int] \mathrm{D'où : \widehat{BHC} + \widehat{HCB} + \widehat{HBC}=180°} \\[0.1int] \mathrm{\widehat{ABC}=\widehat{HBC}= 72°} \\[0.1int] \mathrm{\widehat{BHC}=90°} \\[0.1int] \mathrm{90°+ \widehat{HCB} + 72°=180°} \\[0.1int] \mathrm{\widehat{HCB} = 180°-90°-72°=18°} \\[0.1int] \textbf{Dans~le~triangle~BCH : }\mathrm{\widehat{HCB} =18°} \\[0.1int] \textbf{Dans~le~quadrilatère~ABCD :} \\ \mathrm{\widehat{DCB} =18°+90° = 108°}
N.B. : arctan = atan = tan-1 . Les 3 notations existent sur les calculatrices. Idem pour sin et cos.
Porte 1
Taille d’une double porte

\textrm{AB = 4243 mm} \\ \textrm{AB est la diagonale d'une porte.} \\[0.1int] \textrm{Si ABC est un triangle rectangle isocèle, alors:} \\[0.3int] \underline{\text{Version 1:}} \\[0.1int] \textrm{D'après le théorème de Pythagore on a:} \\[0.1int] \mathrm{AC²+CB²=AB²} \\[0.1int] \mathrm{AC²+CB²=4243² , de ~ plus: AC = CB} \\[0.1int] \mathrm{Donc: AC²+AC²=4243²} \\[0.1int] \mathrm{2AC²=4243²} \\[0.1int] \mathrm{AC²= \frac{4243²}{2}} \\[0.1int] \mathrm{AC= \sqrt{\frac{4243²}{2}}\approx 3000,25} \\[0.3int] \underline{\text{Version 2:}} \\[0.1int] \textrm{En utilisant les propriétés du triangle rectangle isocèle, on a:} \\[0.1int] \mathrm{AB = AC \times \sqrt{2} ~, d'où:} \\[0.1int] \mathrm{AC = \frac{AB}{\sqrt{2}} \approx 3000,25} \\[0.3int] \textrm{AC mesure au moins 3000 mm.} \\ \textrm{La longueur de la double porte est d'au moins 6000 mm,} \\ \textrm{donc d'au moins 6 m.}
Escargot

\mathrm{2^{50}} \approx \mathrm{1,13} \times \mathrm{10^{15}} \\[0.1int] \textrm{Le nombre } \mathrm{2^{50}} \textrm{est environ égal à :} \\[0.1int] \textrm{1 million de milliards, soit 1 billiard.}