\mathit{1. Déterminer~la~valeur~de~l~'angle~ \widehat{CBA}}\\[0.05int]
\textrm{Utiliser la loi des sinus dans} \\ \textrm{ le triangle quelconque ABC.}\\[0.1int]
\mathit{2. En~déduire~la~valeur~de~l~'angle~ \widehat{CAB}}\\[0.05int]
\textrm{Propriétés des triangles.} \\[0.1int]
\mathit{3.Déterminer~la~longueur~du~côté~[CB]}\\[0.05int]
\textrm{Utiliser la loi des cosinus dans} \\ \textrm{ le triangle quelconque ABC.}\\[0.1int]
\mathit{4. Déterminer~la~longueur~du~côté~[CD]} \\[0.05int]
\textrm{Utiliser la loi des cosinus dans} \\ \textrm{ le triangle quelconque CBD.}\\[0.1int]
\underline{\mathbf{1. Calcul~de~ \widehat{CBA}}}\\[0.05int]
\textrm{Le triangle CBA est quelconque,} \\
\textrm{d'après la loi des sinus on a :} \\[0.2int]
\mathrm{\frac{CA}{sin~\widehat{CBA}} = \frac{CB}{sin~\widehat{CAB}} = \frac{AB}{sin~\widehat{ACB}}} \\[0.2int]
\textrm{On remplace :} \\[0.1int]
\mathrm{\frac{200}{sin~\widehat{CBA}} = \frac{CB}{sin~\widehat{CAB}} = \frac{700}{sin~80}} \\[0.2int]
\mathrm{\frac{200}{sin~\widehat{CBA}} = \frac{700}{sin~80°}} \\[0.2int]
\begin{align*}
\mathrm{sin~\widehat{CBA}} &= \mathrm{\frac{200 \times sin (80°)}{700}} \\[0.2int]
\mathrm{\widehat{CBA}} &= \mathrm{Arcsin( \frac{200 \times sin (80°)}{700}}) \\[0.2int]
\mathrm{\widehat{CBA}} &\approx \mathrm{16,342°} \\[0.2int]
\mathbf{\widehat{CBA}} &= \mathbf{16°, après~arrondi.} \\[0.2int]
\end{align*}
\underline{\mathbf{3. Calcul~de~ CB}} \\[0.05int]
\textrm{Le triangle ABC est quelconque,} \\
\textrm{d'après la loi des cosinus on a :} \\[0.2int]
\begin{align*}
\mathrm{AB^2} &= \mathrm{AC^2+CB^2-2~AC \times CB \times
cos(\widehat{ACB})} \\[0.05int]
\mathrm{700^2} &= \mathrm{200^2 +CB^2-2 \times 200 \times CB \times cos(80°)} \\[0.05int]
\mathrm{490~000} &= \mathrm{40~000 +CB^2- 400 \times CB \times cos(80°)} \\[0.05int]
\mathrm{450~000} &= \mathrm{CB^2- 400 \times CB \times cos(80°)} \\
\end{align*}\\[0.2int]
\mathrm{CB^2- 400 \times CB \times cos(80°) -450~000 = 0} \\[0.05int]
\textrm{L'équation du dessus est une équation de degré 2.} \\[0.2int]
\textrm{On pose : CB = x} \\[0.2int]
\textrm{Pour calculer CB, il faut résoudre l'équation :} \\[0.2int]
\mathrm{x^2- 400 \times cos(80°) \times x -450~000 = 0} \\[0.05int]
Représentation graphique et résolution
\begin{align*}
\mathrm{CB} &\approx \mathrm{706,45} \\[0.05int]
\mathbf{CB} &= \mathbf{706~mm, après~arrondi.} \\[0.05int]
\end{align*}\\[0.2int]
\textit{N.B.: Cette méthode de résolution est plus longue}\\
\textit{ qu'en utilisant la loi des sinus mais elle est plus précise.}
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