Escalier 1

\underline{\textbf{Méthode pour calculer BC :}}
Trigonométrie - Loi des sinus et des cosinus - Triangle quelconque - Cours de maths - 1peu2maths.fr

1. Déterminer la longueur du côté [DB]

Utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle DAB rectangle en A.

2. En déduire la longueur du côté [BC]

Utiliser la loi des cosinus dans le triangle quelconque DBC.

\underline{\textbf{Calcul de DB :}} \\[0.1int]
\textrm{Le triangle DAB est rectangle en A,} \\
\textrm{d'après le théorème de Pythagore on a :} \\[0.1int]
\begin{align*}
     \mathrm{DB^2}     &=     \mathrm{DA^2+AB^2} \\[0.05int]
     \mathrm{DB^2}     &=     \mathrm{100^2+300^2} \\[0.05int]
     \mathrm{DB^2}     &=     \mathrm{10~000+90~000} \\[0.05int]
     \mathrm{DB^2}     &=     \mathrm{100~000} \\[0.05int]
     \mathrm{DB}     &=     \mathrm{\sqrt{100~000}\approx{316,2~mm}} \\[0.05int]
     \mathbf{DB}     &=     \mathbf{316~mm, après~arrondi.} \\[0.05int]
\end{align*}

\underline{\textbf{Calcul de BC :}} \\
\textit{1ère méthode : Avec la valeur exacte de DB} \\[0.1int]
\textrm{Le triangle DBC est quelconque,} \\
\textrm{d'après la loi des cosinus on a :} \\[0.1int]
\begin{align*}
     \mathrm{BC^2}     &=     \mathrm{BD^2+DC^2-2~BD \times DC \times
     cos(\widehat{DBC})} \\[0.05int]
     \mathrm{BC^2}     &=     \mathbf{\sqrt{100~000}} \mathrm{^2 +700^2-2 \times}  \mathbf{\sqrt{100~000}} \mathrm{\times 700 \times cos(65°)}
     \\[0.05int]
     \mathrm{BC^2}     &=     \mathrm{100~000+490~000-1400 \times \sqrt{100~000}
     \times  cos(65°)} \\[0.05int]
     \mathrm{BC^2}     &\approx     \mathrm{402~898,919} \\[0.05int]
     \mathrm{BC}     &\approx     \mathrm{\sqrt{402~898,919}} \\[0.05int]
     \mathrm{BC}     &\approx     \mathrm{634,7} \\[0.05int]
     \mathbf{BC}     &=     \mathbf{635~mm, après~arrondi.} \\[0.05int]
\end{align*}

\underline{\textbf{Calcul de BC :}} \\
\textit{2ème méthode : Avec la valeur arrondie de DB} \\[0.1int]
\textrm{Le triangle DBC est quelconque,} \\
\textrm{d'après la loi des cosinus on a :} \\[0.1int]
\begin{align*}
     \mathrm{BC^2}     &=     \mathrm{BD^2+DC^2-2~BD \times DC \times
     cos(\widehat{DBC})} \\[0.05int]
     \mathrm{BC^2}     &=      \mathbf{316} \mathrm{^2+700^2-2 \times}
     \mathbf{316} \mathrm{\times 700 \times cos(65°)} \\[0.05int]
     \mathrm{BC^2}     &=     \mathrm{99~856+490~000-1400 \times \sqrt{100~000}
     \times  cos(65°)} \\[0.05int]
     \mathrm{BC^2}     &\approx     \mathrm{402~889,681} \\[0.05int]
     \mathrm{BC}     &\approx     \mathrm{\sqrt{402~889,681}} \\[0.05int]
     \mathrm{BC}     &\approx     \mathrm{634,7} \\[0.05int]
     \mathbf{BC}     &=     \mathbf{635~mm, après~arrondi.} \\[0.05int]
\end{align*}

N.B.: La loi des cosinus est aussi appelée le théorème d’Al-Kashi.

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