Catégorie : Exercices

\mathit{1. Déterminer~la~valeur~de~l~'angle~ \widehat{CBA}}\\[0.05int]
\textrm{Utiliser la loi des sinus dans} \\ \textrm{ le triangle quelconque ABC.}\\[0.1int]
\mathit{2. En~déduire~la~valeur~de~l~'angle~ \widehat{CAB}}\\[0.05int]
\textrm{Propriétés des triangles.} \\[0.1int]
\mathit{3.Déterminer~la~longueur~du~côté~[CB]}\\[0.05int]
\textrm{Utiliser la loi des cosinus dans} \\ \textrm{ le triangle quelconque ABC.}\\[0.1int]
\mathit{4. Déterminer~la~longueur~du~côté~[CD]} \\[0.05int]
\textrm{Utiliser la loi des cosinus dans} \\ \textrm{ le triangle quelconque CBD.}\\[0.1int]

\underline{\mathbf{1. Calcul~de~ \widehat{CBA}}}\\[0.05int]
\textrm{Le triangle CBA est quelconque,} \\
\textrm{d'après la loi des sinus on a :} \\[0.2int]
\mathrm{\frac{CA}{sin~\widehat{CBA}} = \frac{CB}{sin~\widehat{CAB}} = \frac{AB}{sin~\widehat{ACB}}} \\[0.2int]
\textrm{On remplace :} \\[0.1int]
\mathrm{\frac{200}{sin~\widehat{CBA}} = \frac{CB}{sin~\widehat{CAB}} = \frac{700}{sin~80}} \\[0.2int]
\mathrm{\frac{200}{sin~\widehat{CBA}} = \frac{700}{sin~80°}} \\[0.2int]
\begin{align*}
     \mathrm{sin~\widehat{CBA}} &= \mathrm{\frac{200 \times sin (80°)}{700}} \\[0.2int]
     \mathrm{\widehat{CBA}} &= \mathrm{Arcsin( \frac{200 \times sin (80°)}{700}}) \\[0.2int]
     \mathrm{\widehat{CBA}} &\approx \mathrm{16,342°} \\[0.2int]
     \mathbf{\widehat{CBA}} &= \mathbf{16°, après~arrondi.} \\[0.2int]
\end{align*}

     

\underline{\mathbf{2. Calcul~de~ \widehat{CAB}}}\\[0.05int]
\textrm{La somme des angles dans un triangle vaut 180°, donc :} \\[0.2int]
\mathrm{\widehat{ACB} + \widehat{CBA}+\widehat{CAB} = 180°} \\[0.2int]
\begin{align*}
     \mathrm{\widehat{CAB}} &= \mathrm{180° - \widehat{CBA} - \widehat{CAB}} \\[0.2int]
     \mathrm{\widehat{CAB}} &= \mathrm{180° - 80° - 16°} \\[0.2int]
     \mathbf{\widehat{CAB}} &= \mathbf{84°} \\[0.2int]
\end{align*}

\underline{\mathbf{3. Calcul~de~ CB}} \\[0.05int]
\textrm{Le triangle ABC est quelconque,} \\
\textrm{d'après la loi des cosinus on a :} \\[0.2int]
\begin{align*}
     \mathrm{AB^2}     &=     \mathrm{AC^2+CB^2-2~AC \times CB \times
     cos(\widehat{ACB})} \\[0.05int]
     \mathrm{700^2}     &=     \mathrm{200^2 +CB^2-2 \times 200 \times CB \times cos(80°)} \\[0.05int]
    \mathrm{490~000}     &=     \mathrm{40~000 +CB^2- 400 \times CB \times cos(80°)} \\[0.05int]
    \mathrm{450~000}     &=     \mathrm{CB^2- 400 \times CB \times cos(80°)} \\
\end{align*}\\[0.2int]
\mathrm{CB^2- 400 \times CB \times cos(80°) -450~000 = 0} \\[0.05int]
\textrm{L'équation du dessus est une équation de degré 2.} \\[0.2int]
\textrm{On pose : CB = x} \\[0.2int]
\textrm{Pour calculer CB, il faut résoudre l'équation :} \\[0.2int]
\mathrm{x^2- 400 \times cos(80°) \times x -450~000 = 0} \\[0.05int]

\begin{align*}
\mathrm{CB}     &\approx     \mathrm{706,45} \\[0.05int]
\mathbf{CB}     &=     \mathbf{706~mm, après~arrondi.} \\[0.05int]
\end{align*}\\[0.2int]
\textit{N.B.: Cette méthode de résolution est plus longue}\\
\textit{ qu'en utilisant la loi des sinus mais elle est plus précise.}

\underline{\mathbf{4. Calcul~de~ CD}} \\[0.05int]
\textrm{Le triangle CBD est quelconque,} \\
\textrm{d'après la loi des cosinus on a :} \\[0.2int]
\begin{align*}
     \mathrm{CD^2}     &=     \mathrm{CB^2+BD^2-2~CB \times BD \times
     cos(\widehat{CBD})} \\[0.05int]
     \mathrm{CD^2}     &=     \mathrm{706^2 + 330^2-2 \times 706 \times 330 \times cos(80°)} \\[0.05int]
    \mathrm{CD^2}     &=     \mathrm{607~336 - 465~960 \times cos(80°)} \\[0.05int]
    \mathrm{CD^2}     &=    \mathrm{\sqrt{607~336 - 465~960 \times cos(80°)}}\\[0.05int]
\mathrm{CD} &\approx \mathrm{725,550}\\[0.05int]
\mathbf{CD} &= \mathbf{726~mm, après~arrondi.}
\\
\end{align*}\\[0.05int]

\underline{\textbf{Méthode pour calculer BC :}}

\underline{\textbf{Calcul de DB :}} \\[0.1int]
\textrm{Le triangle DAB est rectangle en A,} \\
\textrm{d'après le théorème de Pythagore on a :} \\[0.1int]
\begin{align*}
     \mathrm{DB^2}     &=     \mathrm{DA^2+AB^2} \\[0.05int]
     \mathrm{DB^2}     &=     \mathrm{100^2+300^2} \\[0.05int]
     \mathrm{DB^2}     &=     \mathrm{10~000+90~000} \\[0.05int]
     \mathrm{DB^2}     &=     \mathrm{100~000} \\[0.05int]
     \mathrm{DB}     &=     \mathrm{\sqrt{100~000}\approx{316,2~mm}} \\[0.05int]
     \mathbf{DB}     &=     \mathbf{316~mm, après~arrondi.} \\[0.05int]
\end{align*}

\underline{\textbf{Calcul de BC :}} \\
\textit{1ère méthode : Avec la valeur exacte de DB} \\[0.1int]
\textrm{Le triangle DBC est quelconque,} \\
\textrm{d'après la loi des cosinus on a :} \\[0.1int]
\begin{align*}
     \mathrm{BC^2}     &=     \mathrm{BD^2+DC^2-2~BD \times DC \times
     cos(\widehat{DBC})} \\[0.05int]
     \mathrm{BC^2}     &=     \mathbf{\sqrt{100~000}} \mathrm{^2 +700^2-2 \times}  \mathbf{\sqrt{100~000}} \mathrm{\times 700 \times cos(65°)}
     \\[0.05int]
     \mathrm{BC^2}     &=     \mathrm{100~000+490~000-1400 \times \sqrt{100~000}
     \times  cos(65°)} \\[0.05int]
     \mathrm{BC^2}     &\approx     \mathrm{402~898,919} \\[0.05int]
     \mathrm{BC}     &\approx     \mathrm{\sqrt{402~898,919}} \\[0.05int]
     \mathrm{BC}     &\approx     \mathrm{634,7} \\[0.05int]
     \mathbf{BC}     &=     \mathbf{635~mm, après~arrondi.} \\[0.05int]
\end{align*}

\underline{\textbf{Calcul de BC :}} \\
\textit{2ème méthode : Avec la valeur arrondie de DB} \\[0.1int]
\textrm{Le triangle DBC est quelconque,} \\
\textrm{d'après la loi des cosinus on a :} \\[0.1int]
\begin{align*}
     \mathrm{BC^2}     &=     \mathrm{BD^2+DC^2-2~BD \times DC \times
     cos(\widehat{DBC})} \\[0.05int]
     \mathrm{BC^2}     &=      \mathbf{316} \mathrm{^2+700^2-2 \times}
     \mathbf{316} \mathrm{\times 700 \times cos(65°)} \\[0.05int]
     \mathrm{BC^2}     &=     \mathrm{99~856+490~000-1400 \times \sqrt{100~000}
     \times  cos(65°)} \\[0.05int]
     \mathrm{BC^2}     &\approx     \mathrm{402~889,681} \\[0.05int]
     \mathrm{BC}     &\approx     \mathrm{\sqrt{402~889,681}} \\[0.05int]
     \mathrm{BC}     &\approx     \mathrm{634,7} \\[0.05int]
     \mathbf{BC}     &=     \mathbf{635~mm, après~arrondi.} \\[0.05int]
\end{align*}