Pi et le cercle

π (Pi) ou constante d’Archimède est est un nombre représenté par la lettre grecque du même nom.

Cercle-math-maths-cours-1peu2maths

Définition:

π est le rapport constant entre le périmètre (P) du cercle et son diamètre (D). D’où: π=P/D

π est le rapport constant entre l’aire (A) d’un disque et son rayon (R) au carré. D’où: π=A/R²

Il y a proportionnalité entre le périmètre et le diamètre.

Il y a proportionnalité entre l’aire et le rayon au carré.

Périmètre-math-maths-cours-1peu2maths

Écrit autrement on retrouve: P=πD=2πR et A=π

Pi, un nombre sans fin!

Le nombre Pi suscite un intérêt chez les mathématiciens depuis près de 4000 ans.

pi-maths-histoire-Cours particuliers-1peu2maths

Très tôt les mathématiciens soupçonnent l’existence d’une constante entre le périmètre d’un cercle et son diamètre. Vers 2000 ans av. J.-C., on retrouve des traces de Pi chez les babyloniens et les égyptiens. Vers 700 av. J.-C., un texte indien fournit une approximation de Pi à 3,125. Vers 250 av. J.-C., Archimède (287-212 av. J.-C.) apporta une bonne approximation du nombre pi en utilisant une méthode d’encadrement.

Archimède et Pi

Archimède encadra un cercle par son polygone inscrit et son polygone circonscrit. Cette méthode est appelée l’exhaustion, c’est une méthode ancienne qui devient vite lourde à mesure que l’on augmente le nombre de côtés des polygones. Avec cette méthode, on peut encadrer le périmètre d’un cercle mais aussi l’aire d’un disque. Dans les deux cas, on peut mettre en avant une approximation du nombre Pi.

polygone-math-maths-cours-1peu2maths

En utilisant un polygone à 96 côtés, Archimède parvient à une bonne approximation : 223/71≤π≤22/7.

Les recherches continuent…

Au fil des siècles, les méthodes pour calculer les décimales de Pi se poursuivent: en Chine au IIIe siècle, puis en Inde vers le XVe siècle.

La notation π (16e lettre de l’alphabet grec) n’apparait qu’en 1647. Inspirée d’Archimède qui désignait la longueur de la circonférence par le mot «περιμετροε» (périmètre), et de l’anglais William Oughtred (1574-1660) qui l’utilisa pour nommer le périmètre d’un cercle.

A la fin du XVIe siècle, le français Adrien Romain arrive à calculer 15 décimales de Pi. Il fut supplanté au début du XVIIe siècle par l’allemand Ludolph van Ceulen qui calcula 35 décimales.

pi-math-maths-cours-1peu2maths

Les machines à la rescousse…

Le 14 mars 2019, jour du Pi-Day, Google rend public le nouveau record de calcul des décimales de Pi: 31 415 milliards de décimales.

La première contribution décisive intervient cependant en Europe, grâce au mathématicien français François Viète (1540-1603), qui parvient à livrer 12 décimales.

La corde à 13 nœuds

Corde 13 treize noeud-math-maths-cours-1peu2maths


La corde peut servir à:
– prendre et reporter des mesures,
– tracer des cercles et des arcs de cercle,
– fabriquer des formes géométriques (triangle rectangle, isocèle ou équilatéral),
– fabriquer des angles droits.

Le triplet (3, 4, 5) est bien connu pour former un triangle rectangle.

Pour l’époque, cet outil était pratique pour vérifier l’équerrage des parcelles de terre. En effet, transporter un rouleau de corde est plus facile que de transporter une équerre géante.

Corde carré-math-maths-cours-1peu2maths

Il existe plusieurs types de corde. La corde à 20 nœuds permet de construire un carré et plusieurs rectangles.

La corde à treize nœuds ou “corde des druides” ou “corde égyptienne” est une corde avec treize nœuds espacés de façon régulière. Fabriquer une de ces cordes n’est pas si facile!

Son origine est mal connue. On retrouve des traces de son utilisation chez les architectes de l’Egypte antique, pour tracer des angles droits. Elle fut aussi utilisée par les bâtisseurs du Moyen âge.

A cette époque, très peu de personnes avaient des notions de calcul ou de géométrie. De plus, les systèmes de mesures utilisés étaient aussi diverses que variés, ce qui ne facilitait rien!

corde triangle rectangle-math-maths-cours-1peu2maths

Le chou romanesco: un fractal

Le chou romanesco est une variété de chou-fleur originaire d’Italie. Il est aussi appelé « brocoli à pomme ».

Chou romanesco-math-maths-cours-1peu2maths

La forme globale du chou romanesco est celle d’un cône. Ce cône est lui-même constitué de cônes plus petits, disposés en spirale.

Le chou romanesco a une forme fractale.

Définition d’un(e) fractal(e)

Pour la définition chiante d’un fractal avec des mots compliqués, allez sur internet! ^^

De façon simple, un fractal est une figure géométrique qui se répète. Peu importe l’endroit où on zoome, on verra toujours la même chose! (voir vidéos pour illustration)

Le flocon de Koch

Le flocon de Koch est une figure fractale assez basique. Il est obtenu progressivement à partir d’un triangle équilatéral.

Fractale-math-maths-cours-1peu2maths
Construction d’un flocon de Koch

Le théorème de Thalès

Thalès de Milet (ou Thalès) serait né vers 625 avant J.-C., à Milet.
Thalès fut mathématicien, physicien, astronome et philosophe grec.

Au cours de l’un de ses voyages en Egypte, Thalès rencontra le Pharaon Amasis. Le Pharaon mis Thalès à l’épreuve, en lui demandant de déterminer la hauteur de la Grande Pyramide de Kheops…

Voici comment Thalès aurait procédé :
Profitant du soleil, il planta un bâton dans le sol de sorte que son
ombre coïncide avec celle de la pyramide. Il a pu ainsi mesurer certaines longueurs et apporter une solution à ce qui lui a été demandé!

Ci-dessous un exercice qui reprend la méthode utilisée par Thalès…

Théorème formule thalès figure polygone triangle semblable-math-maths-cours-1peu2maths
Théorème formule thalès figure polygone triangle semblable-math-maths-cours-1peu2maths
Théorème formule thalès figure polygone triangle semblable-math-maths-cours-1peu2maths

Une histoire de dés

dé - suite de nombres - faces de dés - cours particuliers - 1peu2maths

Un point d’histoire

L’ apparition des dés n’est pas déterminée précisément, les dés viennent probablement des os d’animaux (cheville de bœuf…), comme le jeu des osselets. Dans les écrits antiques les jeux de dés et d’osselets semblent se confondre.

Des dés ont été trouvés sur plusieurs sites de l’Indus, datant de 2 400 avant notre ère. Certains de ces dés sont similaires à ceux d’aujourd’hui avec 1 à 6 trous sur les faces des cubes.

Les indiens et les grecs…

Très tôt, les indiens ont été des joueurs de dés. Les grecs utilisaient les dés pour la divination et divers jeux. Ils utilisaient tellement les dés qu’ils pensaient en être les inventeurs.

dé face-math-maths-cours-1peu2maths

On retrouve des dés chez plusieurs civilisations.

Aujourd’hui, les dés se présentent sous des formes et des couleurs variées. Ils sont principalement en plastique.

Quelques sortes de dés…

Tétraèdre: 4 faces
Hexaèdre (ou Cube): 6 faces
Octaèdre: 8 faces
Dodécaèdre régulier : 12 faces en forme de pentagone
rhombododécaèdre: 12 faces en forme de losange
lcosaèdre: 20 faces
Zocchièdre: 100 faces

dé suite face-math-maths-cours-1peu2maths

Les solides de Platon.