Flocon de Koch

Le flocon de Koch est l’une des premières figures fractales à avoir été décrites, bien avant l’invention du terme « fractal(e) » par Benoît Mandelbrot.

Elle a été inventée en 1904 par le mathématicien suédois Helge von Koch.

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Les 6 premières étapes pour construire le flocon de Koch.

Étape 1:

Dessiner un triangle équilatéral.

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Étape 2:

Ajouter un triangle équilatéral, dont le côté est 3 fois plus petit, sur chaque côté du premier triangle.

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Étape 3:

Ajouter un triangle équilatéral, dont le côté est encore 3 fois plus petit, sur chaque nouveau côté.

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Répéter l’opération autant de fois que possible…

Le flocon après 5 étapes…

Observation:

Si on commence avec un triangle de 81 cm de côté, alors à l’étape 5 on ajoute des triangles de 1 cm de côté. ^^

P.S.:

On peut faire ce genre de dessin avec n’importe quelle figure: carré, hexagone,…

On peut aussi le faire avec des figures en 3d: tétraèdre, cube,…

Trigonométrie

“Trigonométrie” veut dire mesure dans un triangle. Le trigone est une autre manière de nommer le triangle.

Du point de vue des mathématiques

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La trigonométrie est une branche des mathématiques, plus précisément de la géométrie. La trigonométrie établit des relations entre les longueurs et les angles dans les triangles. Elle traite aussi des fonctions trigonométriques telles que sinus, cosinus et tangente.

Du point de vue de l’histoire

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Les origines de la trigonométrie remontent à l’antiquité, il y a plus de 4000 ans.

Des traces de calculs trigonométriques rudimentaires ont été retrouvées sur la tablette babylonienne Plimpton 322 (1800 avant J.-C.).

La trigonométrie a été développée pour l’astronomie et la navigation, dans un soucis de précision. La première carte de France fut ainsi achevée au 18e siècle.

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Chez les grecs et les indiens

Les astronomes grecs, comme Hipparque de Nicée (-190 ; -120) ou Ptolémée (100 – 168) ont construit les premières tables trigonométriques. Ptolémée les publia, vers l’an 150, avec leur mode de construction.

Vers l’an 400, le traité indien d’astronomie Surya Siddhanta, apporte une innovation en trigonométrie.

Les mathématiciens grecs associent la mesure d’une corde à un arc. Les mathématiciens indiens préfèrent associer la demi-corde à un arc, c’est ainsi que la notion de sinus a été créée. Le mathématicien indien Âryabhata, en 499, donne une table des sinus et des cosinus.

En 628, le mathématicien indien Brahmagupta utilise l’interpolation numérique pour calculer la valeur des sinus jusqu’à l’ordre 2.

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Plus tard…

C’est dans le monde musulman que la trigonométrie prend le statut de discipline à part entière et se détache de l’astronomie.

En 1220, l’italien Leonardo Fibonacci propose une table trigonométrique dans sa Practica Geometriae. Malheureusement cette table comporte plusieurs erreurs.

Ce n’est qu’à partir du XVe siècle que des mesures trigonométriques précises apparaissent, avec la traduction des œuvres de Ptolémée.

Répartition des pétales

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Qui n’a pas déjà été intrigué par la beauté et le savoir-faire de la nature? En particulier, par les régularités et les symétries des fleurs. L’étude de l’arrangement des feuilles d’une plante s’appelle: la phyllotaxie (du grec phyllo: feuille et taxis: organisation). Ces arrangements ont des propriétés mathématiques étonnantes. Les scientifiques commencent juste à en décrypter les dessous biologiques. Depuis plus de deux cents ans, des chercheurs allient mathématiques, physique, biologie et informatique pour percer les secrets des plantes.

Méristème-math-maths-cours-1peu2maths

Le pouvoir organisateur du méristème

Observons au bout des tiges, les zones des plantes qui fabriquent leur phyllotaxie : les méristèmes. Ce sont des tissus spécialisés qui produisent en permanence de nouveaux organes.

L’analyse quantitative de ces motifs géométriques a révélé des propriétés étonnantes.

Il existe différentes phyllotaxies classées selon deux critères : le nombre d’éléments sur un même nœud, et l’angle entre deux éléments successifs. Il existe quatre grands types de phyllotaxies alternes, spiralées, verticillées et multijuguées.

Des études botaniques semblent montrer que les phyllotaxies spiralées sont les plus répandues.

Sirale-math-maths-cours-1peu2maths

Spirales

On distingue plusieurs spirales dans ces arrangements. La première relie les organes dans l’ordre où ils ont été produits dans le temps (c’est-à-dire par âge), par exemple. Cette spirale génératrice s’enroule autour de la tige, feuille après feuille, comme les marches d’un escalier en colimaçon aplati.

Pomme-math-maths-cours-1peu2maths

Pomme de pin

Dans une pomme de pin, les éléments dessinent des spirales. Certaines tournent dans un sens et les autres dans l’autre. Si on compte le nombre de ces spirales dans chaque sens, on trouve deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci. Chaque nombre de cette suite est la somme des deux précédents, en partant de 1 et 1 on a: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Ainsi, une pomme de pin fait en général apparaître 8 spirales dans un sens et 13 dans l’autre, une marguerite 21 spirales dans un sens et 34 dans l’autre, etc.

Tournesol-math-maths-cours-1peu2maths

L’angle d’or

Identifiée et étudiée pour la première fois par Léonard de Pise (Leonardo Fibonacci) au XIIIe siècle, cette suite a de très nombreuses propriétés mathématiques. En particulier, si l’on considère la suite constituée des rapports successifs entre deux termes consécutifs (suite des ratios de Fibonacci) : 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, …, celle-ci converge et tend vers (1+√5)/2, c’est-à-dire le nombre d’or ϕ (égal à environ 1,618). Pendant des siècles, ce nombre a été considéré comme harmonieux, voir divin. Pour les plantes, le nombre d’or est dissimulé dans le rapport de deux angles successifs (phyllotaxie spiralée).

Le cercle trigonométrique

Définition

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1.

Sur l’axe des abscisses on a les cosinus.

Sur l’axe des ordonnées on a les sinus.

Le cercle trigonométrique permet de représenter le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle θ.

Propriétés

sin²θ + cos²θ = 1 (Pythagore)

-1⩽ sinθ ⩽1 et -1⩽ cosθ ⩽1

Sinus cosinus tangente-math-maths-cours-1peu2maths

Quelques valeurs de référence…

Cercle trigo trigonométrique-math-maths-cours-1peu2maths
Valeurs de référence

Les ammonites…

Les ammonites-math-maths-cours-1peu2maths

Les ammonites sont un type de mollusque marin préhistorique. Ils ont vécu pendant plus de 300 millions d’années, de la période dévonienne à la fin du crétacé. Ils ont disparu à la même époque que les dinosaures.

Fibonacci-math-maths-cours-1peu2maths

Le nombre d’or: 1.61803…

L’enroulement régulier d’une ammonite se fait suivant une spirale logarithmique, la spirale d’or, comme de nombreux coquillages qui sont formés ainsi.

L’étoile de mer est un pentagone régulier étoilé, qui est en relation direct avec le nombre d’or.