Un menuisier étudie les propriétés et les dimensions des marches d’un escalier qu’il veut fabriquer.
Ci-dessous, le schéma de la marche 1
\textrm{AD = 200 mm et BC = 300 mm.} \\[0.1int]
\mathrm{Calculer~l'angle~
\widehat{ABC},}\\[0.1int]
\mathrm{en~déduire ~l'angle~\widehat{BAD}} \\[0.1int]
\textrm{Arrondir au degré.}Le schéma n’est pas à l’échelle.
Un menuisier étudie les propriétés et les dimensions des marches d’un escalier qu’il veut fabriquer.
Ci-dessous, le schéma de la marche 1
\mathrm{Calculer~l'angle~
\widehat{ABC},}\\[0.1int]
\mathrm{en~déduire ~l'angle~\widehat{BCD}} \\[0.1int]
\textrm{Arrondir au degré.}Le schéma n’est pas à l’échelle.
\textrm{AB = 4243 mm} \\ \textrm{AB est la diagonale d'une porte.} \\[0.1int]
\textrm{Si ABC est un triangle rectangle isocèle, alors:} \\[0.3int]
\underline{\text{Version 1:}} \\[0.1int]
\textrm{D'après le théorème de Pythagore on a:} \\[0.1int]
\mathrm{AC²+CB²=AB²} \\[0.1int]
\mathrm{AC²+CB²=4243² , de ~ plus: AC = CB} \\[0.1int]
\mathrm{Donc: AC²+AC²=4243²} \\[0.1int]
\mathrm{2AC²=4243²} \\[0.1int]
\mathrm{AC²= \frac{4243²}{2}} \\[0.1int]
\mathrm{AC= \sqrt{\frac{4243²}{2}}\approx 3000,25} \\[0.3int]
\underline{\text{Version 2:}} \\[0.1int]
\textrm{En utilisant les propriétés du triangle rectangle isocèle, on a:} \\[0.1int]
\mathrm{AB = AC \times \sqrt{2} ~, d'où:} \\[0.1int]
\mathrm{AC = \frac{AB}{\sqrt{2}} \approx 3000,25} \\[0.3int]
\textrm{AC mesure au moins 3000 mm.} \\
\textrm{La longueur de la double porte est d'au moins 6000 mm,} \\
\textrm{donc d'au moins 6 m.}
Un client veut faire construire une maison dont la façade est un demi-disque. Il veut vérifier que la double porte aura bien une longueur d’au moins 6m.
AB = 4243mm. AB est la diagonale d’une porte.
(cos~a + i~ sin~a)^n = cos(na) + i~sin(na)\\
On va démontrer la formule par récurrence pour n dans N.
Initialisation:
Si n = 0
(cos~a~+~i~sin~a)^0~ =~ 1\\ cos(0a)~+~i~sin(0a)~ =~ cos~0~=~1
Hérédité:
Si pour un n, entier naturel, on a la proposition suivante qui est vraie:
\text{\textquotedblleft}(cos~a~+~i~sin~a)^n~ = ~cos(na)~+~i~sin(na)"Alors
\begin{align*}
(cos~a~+~i~sin~a)^{n+1}~ = ~ (cos~a~+~i~sin~a)(cos~a~+~i~sin~a)^n \\[0.15int]
(cos~a~+~i~sin~a)^{n+1}~ = ~ (cos~a~+~i~sin~a)(cos(na)~+~i~sin(na)) \\[0.15int]
(cos~a~+~i~sin~a)^{n+1}~ = ~ cos~a~cos(na)~+~i~cos~a~sin(na)\\ +~i~sin~a~cos(na)~-~sin~a~sin(na) \\[0.15int]
(cos~a~+~i~sin~a)^{n+1}~ = ~ cos~a~cos(na)~-~sin~a~sin(na)\\ +~i(cos~a~sin(na)+~sin~a~cos(na))
\end{align*}En utilisant les formules d’addition, on obtient:
(cos~a~+~i~sin~a)^{n+1}~ = ~cos~(n+1)a~+~i~sin~(n+1)a\\Il y a hérédité, donc d’après l’axiome de récurrence la propriété est vraie pour tout n, entier naturel.
\mathrm{2^{50}} \approx \mathrm{1,13} \times \mathrm{10^{15}} \\[0.1int]
\textrm{Le nombre } \mathrm{2^{50}} \textrm{est environ égal à :} \\[0.1int]
\textrm{1 million de milliards.} 
\text{AB = AC = AD = rayon du cercle} \\[0.15int]
\text{DC est un diamètre du cercle.} \\[0.15int]
\text{Dans un triangle, la somme des angles vaut 180°.} \\[0.15int]
\text{Les triangles ABD et ABC sont isocèles en A.} \\[0.15int]
\text{On en déduit que:} \\[0.15int]
\mathrm{180°-2\alpha+180°-2\beta=180°} \\[0.15int]
\mathrm{180°=2\alpha+2\beta} \\[0.15int]
\mathrm{90°=\alpha+\beta} \\[0.15int]
\text{Donc le triangle DBC est rectangle en B.}
DC est un diamètre du cercle. Démontrer que le triangle DBC est rectangle en B.
ABCD est un carré de côté 4. Le triangle ABC est rectangle isocèle en B, AC est son hypoténuse.
AB = BC = 4
D’après Pythagore on a:
AC² = AB² + BC² = 4² + 4² = 32
AC = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}