ABCD est un carré de côté 4. Le triangle ABC est rectangle isocèle en B, AC est son hypoténuse.
AB = BC = 4
D’après Pythagore on a:
AC² = AB² + BC² = 4² + 4² = 32
AC = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2} Cercle et rayon
Catégorie : Facebook
Cercle et rayon
On a un cercle de rayon 4 et de centre C.
Que vaut la longueur de AC ?
Voile
Un skipper veut fabriquer une voile à partir de deux morceaux carrés.
Comment fait-il pour fabriquer une voile carrée de 40m² ?
Il faut faire un petit découpage et deux manipulations.
Si on déplace le triangle T1 en haut à droite et le triangle T2 en haut à gauche, on arrive à fabriquer un carré de 40m².
PS: La ~~ longueur ~~ du ~~ côté ~~ de ~~ ce \\ nouveau ~~ carré ~~ est ~~ de ~~ \sqrt{40} ~~ m.Types de triangles 2
Trouver les dimensions d’un triangle dont l’aire est un entier.
Faire ceci pour un triangle rectangle, un triangle isocèle puis un triangle équilatéral.
Notations: a et b sont des entiers positifs non nuls.
Pour un triangle rectangle
Aire = \frac{1}{2} \times a \times 2b = abPour un triangle isocèle
Ici, la hauteur du triangle isocèle vaut 4a (Théorème de Pythagore).
Aire = 3a \times 4a = 12a²
Pour un triangle équilatéral
Aire = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\[0.2int]Ici, l’aire ne peut pas être un nombre entier.
Cependant, si a est de la forme:
a = 2b \sqrt[4]{3}Alors:
Aire = \frac{1}{4}\sqrt{3}a^2 \\[0.3int] Aire = \frac{1}{4}\sqrt{3}(2b\sqrt[4]{3})^2 \\[0.3int] Aire= \frac{1}{4}\sqrt{3} \times 4 b^2 \sqrt{3} \\[0.3int] Aire = 3b^2 \\ P.S.: Il y a plusieurs méthodes et solutions possibles.
Types de triangles
Calculer l’aire et le périmètre du polygone ABCDE.
Calcul du périmètre
CDE est un triangle équilatéral, donc CD=DE=EC=10 .
BCE est un triangle rectangle en B, BC=6 ; CE=10 et BE=8 . On a bien la relation de Pythagore: 6²+8²=10² .
ABE est un triangle isocèle en B, donc AB=BE=8 .
Périmètre = AB+BC+CD+DE+EA = 8+6+10+10+4 = 38
Le périmètre du polygone ABCDE est égal à 38.
Calcul de l’aire
L’aire du triangle CDE est égale à:
5 \times 5 \sqrt{3} = 25 \sqrt{3}L’aire du triangle BCE est égale à:
\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24L’aire du triangle ABE est égale à:
\frac{1}{2} \times 4 \times 2 \sqrt{15} = 4 \sqrt{15}L’aire du polygone ABCDE est égale à :
25 \sqrt{3} + 24 + 4 \sqrt{15} \approx \textbf{82,79...}L’aire de rien 2
AC = BH = 1 \\ [0.1 int] Que ~ vaut ~ AB ~ si: ~ Aire ~ A_1 = Aire ~ A_2
\text{Que vaut AB si:} \quad \mathrm{Aire~A_1 = Aire~A_2 ?} \\[0.2 int] \text{On note} \quad \mathrm{AB=d} ~ \mathrm{\geq0} \\ [0.2 int] \mathrm{JH = \frac{1}{d}} \qquad \text{(Théorème de Thalès)} \\[0.2 int] \mathrm{Aire_{ABC} = A_1 + A_2 = \frac{d}{2}} \\[0.2 int] \mathrm{A_2 = \frac{1}{2d}} \\[0.2 int] \mathrm{Si ~ A_1 = A_2 ~ alors ~ A_1 + A_2 = 2 A_2} \\[0.2 int] \mathrm{d'où ~ \frac{d}{2} = \frac{1}{d}} \\[0.2 int] \mathrm{d² = 2 ~ donc ~ d = \sqrt{2}}\\[0.2 int] \mathrm{AB=d=\sqrt{2}\approx{1,414}}“Correction modifiée pour Jordan ^^”
Moi
Retour en maternelle! ^^
Énoncé
Correction
On commence par la première ligne: le “triangle” vaut 2, car 2^3 x 3 = 24.
Dans la deuxième ligne, le “disque” vaut 4, car 3 x 2 x 4² = 96.
Donc: 4 + 3 x 2 = 10.
L’aire de rien
Comparer les aires de T1, T2, T3 et T4 !
On va calculer les aires une par une en commençant par T1.
Aire_{T_1} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 0,5 \\ [0.15int] Aire_{T_2} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 -Aire_{T_1} \\ [0.15int] Aire_{T_2} = 1 - 0,5 = 0,5 \\ [0.15int] Aire_{T_3} = \frac{1}{2} \times 3 \times 1 -Aire_{T_1} -Aire_{T_2} \\ [0.15int] Aire_{T_3} = 1,5 - 2 \times 0,5 = 0,5 \\ [0.15int] Aire_{T_4} = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 -Aire_{T_1} -Aire_{T_2} -Aire_{T_3} \\ [0.15int] Aire_{T_4}= 2 - 3 \times 0,5 = 0,5 \\ [0.15int] Donc les aires sont égales.
Une histoire de dés
Un point d’histoire
L’ apparition des dés n’est pas déterminée précisément, les dés viennent probablement des os d’animaux (cheville de bœuf…), comme le jeu des osselets. Dans les écrits antiques les jeux de dés et d’osselets semblent se confondre.
Des dés ont été trouvés sur plusieurs sites de l’Indus, datant de 2 400 avant notre ère. Certains de ces dés sont similaires à ceux d’aujourd’hui avec 1 à 6 trous sur les faces des cubes.
Les indiens et les grecs…
Très tôt, les indiens ont été des joueurs de dés. Les grecs utilisaient les dés pour la divination et divers jeux. Ils utilisaient tellement les dés qu’ils pensaient en être les inventeurs.
On retrouve des dés chez plusieurs civilisations.
Aujourd’hui, les dés se présentent sous des formes et des couleurs variées. Ils sont principalement en plastique.
Quelques sortes de dés…
Tétraèdre: 4 faces
Hexaèdre (ou Cube): 6 faces
Octaèdre: 8 faces
Dodécaèdre régulier : 12 faces en forme de pentagone
rhombododécaèdre: 12 faces en forme de losange
lcosaèdre: 20 faces
Zocchièdre: 100 faces
Les solides de Platon.
Passe ou ne passe pas?
Un carré dans un rond
Quel doit être le diamètre minimal du cercle pour que le carré passe dedans? (arrondir au dixième)
En termes français,on a :
Si la diagonale du carré, notée d, est plus petite que le diamètre du cercle alors le carré peut passer dans le cercle.
En termes mathématiques, on a:
D'après ~ le ~ théorème ~ de ~ Pythagore, \\[0.1int] d² = 10² + 10² = 200 \\ d = \sqrt{200} \approx 14,14 ~ cm \\[0.1int] Si ~ le ~ diamètre ~ du ~ cercle ~ mesure \\ au ~ moins ~ 14,2 ~ cm ~ alors~ le \\ carré ~ peut ~ passer ~ dans ~ le ~ cercle. 