\text{AB = AC = AD = rayon du cercle} \\[0.15int]
\text{DC est un diamètre du cercle.} \\[0.15int]
\text{Dans un triangle, la somme des angles vaut 180°.} \\[0.15int]
\text{Les triangles ABD et ABC sont isocèles en A.} \\[0.15int]
\text{On en déduit que:} \\[0.15int]
\mathrm{180°-2\alpha+180°-2\beta=180°} \\[0.15int]
\mathrm{180°=2\alpha+2\beta} \\[0.15int]
\mathrm{90°=\alpha+\beta} \\[0.15int]
\text{Donc le triangle DBC est rectangle en B.}
ABCD est un carré de côté 4. Le triangle ABC est rectangle isocèle en B, AC est son hypoténuse.
AB = BC = 4
D’après Pythagore on a:
AC² = AB² + BC² = 4² + 4² = 32
AC = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2} 
Le plat est plus petit (L=27 cm et P=18 cm) que la taille intérieure du micro-ondes (L=40 cm et P=30 cm), donc il peut entrer dedans.
Maintenant que nous savons que le plat entre dans le micro-ondes, il reste à voir s’il peut tourner… ???
\textrm{Le plat peut tourner si la diagonale} \\
\textrm{du plat D n'excède pas 30 cm.} \\[0.15int]
\textrm{On calcule:} \\[0.15int]
\textrm{D² = }\mathrm{18^2+27^2} \\[0.15int]
\mathrm{D^2=1053} \\[0.15int]
\mathrm{D = \sqrt{1053}\approx{32,4 cm}} \\[0.3int]
\textrm{Donc le plat ne peut pas tourner.}Ici, on utilise un cosinus. Le côté adjacent est égal à la hauteur du mur (BH). L’hypoténuse est égal à la longueur de l’échelle (AB).
D’après l’énoncé, la hauteur maximale est atteinte lorsque l’on a un angle de 30°.
\textrm{AB = 5 m} \\ [0.15int]
\mathrm{cos ~30°= \frac{BH}{5}} \\ [0.15int]
\mathrm{D'où:BH = 5~cos~30°} \\ [0.15int]
\textrm{BH = 4,33 m}D’après l’énoncé, la hauteur minimale est atteinte lorsque l’on a un angle de 45°.
\textrm{AB = 5 m} \\ [0.15int]
\mathrm{cos ~45°= \frac{BH}{5}} \\ [0.15int]
\mathrm{D'où:BH = 5~cos~45°} \\ [0.15int]
\textrm{BH = 3,54 m}Conclusion :
Pour travailler en sécurité, on peut utiliser l’échelle pour atteindre un toiture comprise entre 3,54 m et 4,33 m.
La figure n’est pas à l’échelle.
\textrm{A : Position du bateau le soir} \\
\textrm{B : Position du bateau le lendemain matin} \\[0.3int]
\underline{\textrm{Le triangle AOS est rectangle en O :}} \\[0.05int]
\textrm{tan 45° = 1, donc OA = OS = 40 m.} \\[0.3int]
\underline{\textrm{Le triangle BOS est rectangle en O :}} \\[0.05int]
\mathrm{tan~ 60°= \frac{OS}{OB}= \frac{40}{OB}} \\[0.15int]
\mathrm{OB= \frac{40}{tan~60°}} \\[0.15int]
\mathrm{OB \approx 23,1~m} \\[0.3int]
\underline{\textrm{AB est la distance de déplacement du bateau,}} \\
\underline{\textrm{entre le soir et le matin, on en déduit que :}} \\[0.05int]
\mathrm{AB = AO-BO = 40-23,1} \\[0.05int]
\mathrm{AB \approx 16,9~m} \\[0.3int]
\textrm{Le bateau s'est rapproché de 16,9 m environ.} \\
\textrm{16,9 < 25 , \textbf{le bateau doit donc être déplacé.}}
Un skipper veut fabriquer une voile à partir de deux morceaux carrés.
Comment fait-il pour fabriquer une voile carrée de 40m² ?
Il faut faire un petit découpage et deux manipulations.
Si on déplace le triangle T1 en haut à droite et le triangle T2 en haut à gauche, on arrive à fabriquer un carré de 40m².
PS: La ~~ longueur ~~ du ~~ côté ~~ de ~~ ce \\ nouveau ~~ carré ~~ est ~~ de ~~ \sqrt{40} ~~ m.
Trouver les dimensions d’un triangle dont l’aire est un entier.
Faire ceci pour un triangle rectangle, un triangle isocèle puis un triangle équilatéral.
Notations: a et b sont des entiers positifs non nuls.
Aire = \frac{1}{2} \times a \times 2b = abIci, la hauteur du triangle isocèle vaut 4a (Théorème de Pythagore).
Aire = 3a \times 4a = 12a²
Aire = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\[0.2int]Ici, l’aire ne peut pas être un nombre entier.
Cependant, si a est de la forme:
a = 2b \sqrt[4]{3}Alors:
Aire = \frac{1}{4}\sqrt{3}a^2 \\[0.3int] Aire = \frac{1}{4}\sqrt{3}(2b\sqrt[4]{3})^2 \\[0.3int] Aire= \frac{1}{4}\sqrt{3} \times 4 b^2 \sqrt{3} \\[0.3int] Aire = 3b^2 \\ P.S.: Il y a plusieurs méthodes et solutions possibles.
Calculer l’aire et le périmètre du polygone ABCDE.
CDE est un triangle équilatéral, donc CD=DE=EC=10 .
BCE est un triangle rectangle en B, BC=6 ; CE=10 et BE=8 . On a bien la relation de Pythagore: 6²+8²=10² .
ABE est un triangle isocèle en B, donc AB=BE=8 .
Périmètre = AB+BC+CD+DE+EA = 8+6+10+10+4 = 38
Le périmètre du polygone ABCDE est égal à 38.
L’aire du triangle CDE est égale à:
5 \times 5 \sqrt{3} = 25 \sqrt{3}L’aire du triangle BCE est égale à:
\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24L’aire du triangle ABE est égale à:
\frac{1}{2} \times 4 \times 2 \sqrt{15} = 4 \sqrt{15}L’aire du polygone ABCDE est égale à :
25 \sqrt{3} + 24 + 4 \sqrt{15} \approx \textbf{82,79...}
AC = BH = 1 \\ [0.1 int] Que ~ vaut ~ AB ~ si: ~ Aire ~ A_1 = Aire ~ A_2
\text{Que vaut AB si:} \quad \mathrm{Aire~A_1 = Aire~A_2 ?} \\[0.2 int] \text{On note} \quad \mathrm{AB=d} ~ \mathrm{\geq0} \\ [0.2 int] \mathrm{JH = \frac{1}{d}} \qquad \text{(Théorème de Thalès)} \\[0.2 int] \mathrm{Aire_{ABC} = A_1 + A_2 = \frac{d}{2}} \\[0.2 int] \mathrm{A_2 = \frac{1}{2d}} \\[0.2 int] \mathrm{Si ~ A_1 = A_2 ~ alors ~ A_1 + A_2 = 2 A_2} \\[0.2 int] \mathrm{d'où ~ \frac{d}{2} = \frac{1}{d}} \\[0.2 int] \mathrm{d² = 2 ~ donc ~ d = \sqrt{2}}\\[0.2 int] \mathrm{AB=d=\sqrt{2}\approx{1,414}}“Correction modifiée pour Jordan ^^”
Moi