Une façade possède une double porte, chaque porte est de forme rectangulaire. AB est la diagonale d’une des deux portes. La double porte mesure 5 m de longueur.
Quelle est la hauteur des portes ? Arrondir au centimètre.
Porte 2
Catégorie : Exercices
Escalier 2
On se place dans le triangle BAH rectangle en H.
AH est le côté opposé à l’angle B et BH est le côté adjacent.
\mathrm{tan~\widehat{ABC} = \frac{500}{100}=5} \\[0.1int]
\mathrm{\widehat{ABC} = arctan(5)} \\[0.1int]
\mathrm{\widehat{ABC} = 79° , après~arrondi.}\textrm{Dans un triangle, la somme des angles vaut 180°,} \\[0.1int]
\mathrm{D'où : \widehat{BAH} + \widehat{AHB} + \widehat{ABH}=180°} \\[0.1int]
\mathrm{\widehat{ABC}=\widehat{ABH}= 79°} \\[0.1int]
\mathrm{\widehat{AHB}=90°} \\[0.1int]
\mathrm{\widehat{BAH} + 90° + 79°=180°} \\[0.1int]
\mathrm{\widehat{BAH} = 180°-90°-79°=11°} \\[0.1int]
\textbf{Dans~le~triangle~BAH : }\mathrm{\widehat{HAB} =11°} \\[0.1int]
\textbf{Dans~le~quadrilatère~ABCD : } \\
\mathrm{\widehat{BAD} =11°+90° = 101°}N.B. : arctan = atan = tan-1 . Les 3 notations existent sur les calculatrices.
Escalier 1
On se place dans le triangle BHC rectangle en H.
CH est le côté opposé à l’angle B et BH est le côté adjacent.
\mathrm{tan~\widehat{ABC} = \frac{600}{200}=3} \\[0.1int]
\mathrm{\widehat{ABC} = arctan(3)} \\[0.1int]
\mathrm{\widehat{ABC} = 72° , après~arrondi.}\textrm{Dans un triangle, la somme des angles vaut 180°,} \\[0.1int]
\mathrm{D'où : \widehat{BHC} + \widehat{HCB} + \widehat{HBC}=180°} \\[0.1int]
\mathrm{\widehat{ABC}=\widehat{HBC}= 72°} \\[0.1int]
\mathrm{\widehat{BHC}=90°} \\[0.1int]
\mathrm{90°+ \widehat{HCB} + 72°=180°} \\[0.1int]
\mathrm{\widehat{HCB} = 180°-90°-72°=18°} \\[0.1int]
\textbf{Dans~le~triangle~BCH : }\mathrm{\widehat{HCB} =18°} \\[0.1int]
\textbf{Dans~le~quadrilatère~ABCD :} \\
\mathrm{\widehat{DCB} =18°+90° = 108°}N.B. : arctan = atan = tan-1 . Les 3 notations existent sur les calculatrices. Idem pour sin et cos.
Escalier 2
Un menuisier étudie les propriétés et les dimensions des marches d’un escalier qu’il veut fabriquer.
Ci-dessous, le schéma de la marche 1
\textrm{AD = 200 mm et BC = 300 mm.} \\[0.1int]
\mathrm{Calculer~l'angle~
\widehat{ABC},}\\[0.1int]
\mathrm{en~déduire ~l'angle~\widehat{BAD}} \\[0.1int]
\textrm{Arrondir au degré.}Le schéma n’est pas à l’échelle.
Escalier 1
Un menuisier étudie les propriétés et les dimensions des marches d’un escalier qu’il veut fabriquer.
Ci-dessous, le schéma de la marche 1
\mathrm{Calculer~l'angle~
\widehat{ABC},}\\[0.1int]
\mathrm{en~déduire ~l'angle~\widehat{BCD}} \\[0.1int]
\textrm{Arrondir au degré.}Le schéma n’est pas à l’échelle.
Porte 1
Taille d’une double porte
\textrm{AB = 4243 mm} \\ \textrm{AB est la diagonale d'une porte.} \\[0.1int]
\textrm{Si ABC est un triangle rectangle isocèle, alors:} \\[0.3int]
\underline{\text{Version 1:}} \\[0.1int]
\textrm{D'après le théorème de Pythagore on a:} \\[0.1int]
\mathrm{AC²+CB²=AB²} \\[0.1int]
\mathrm{AC²+CB²=4243² , de ~ plus: AC = CB} \\[0.1int]
\mathrm{Donc: AC²+AC²=4243²} \\[0.1int]
\mathrm{2AC²=4243²} \\[0.1int]
\mathrm{AC²= \frac{4243²}{2}} \\[0.1int]
\mathrm{AC= \sqrt{\frac{4243²}{2}}\approx 3000,25} \\[0.3int]
\underline{\text{Version 2:}} \\[0.1int]
\textrm{En utilisant les propriétés du triangle rectangle isocèle, on a:} \\[0.1int]
\mathrm{AB = AC \times \sqrt{2} ~, d'où:} \\[0.1int]
\mathrm{AC = \frac{AB}{\sqrt{2}} \approx 3000,25} \\[0.3int]
\textrm{AC mesure au moins 3000 mm.} \\
\textrm{La longueur de la double porte est d'au moins 6000 mm,} \\
\textrm{donc d'au moins 6 m.}Porte 1
Taille d’une double porte
Un client veut faire construire une maison dont la façade est un demi-disque. Il veut vérifier que la double porte aura bien une longueur d’au moins 6 m.
AB = 4243 mm. AB est la diagonale d’une porte.
Escargot
\mathrm{2^{50}} \approx \mathrm{1,13} \times \mathrm{10^{15}} \\[0.1int]
\textrm{Le nombre } \mathrm{2^{50}} \textrm{est environ égal à :} \\[0.1int]
\textrm{1 million de milliards, soit 1 billiard.} Escargot
Pythagore et le cercle
\text{AB = AC = AD = rayon du cercle} \\[0.15int]
\text{DC est un diamètre du cercle.} \\[0.15int]
\text{Dans un triangle, la somme des angles vaut 180°.} \\[0.15int]
\text{Les triangles ABD et ABC sont isocèles en A.} \\[0.15int]
\text{On en déduit que:} \\[0.15int]
\mathrm{180°-2\alpha+180°-2\beta=180°} \\[0.15int]
\mathrm{180°=2\alpha+2\beta} \\[0.15int]
\mathrm{90°=\alpha+\beta} \\[0.15int]
\text{Donc le triangle DBC est rectangle en B.}