On veut démontrer que:
cos (a+b) = cos~ a~ cos~ b - sin~ a~ sin~ b\\
sin (a+b) = cos~ a~ sin~ b + cos~ b~ sin~ a
Prérequis:
Propriété 1: eia = cos a + i sin a
Propriété 2: ei(a+b) = eia . eib
\begin{align*}
e^{i(a+b)} = cos (a+b) +i sin (a+b) \\[0.1int]
e^{ia} .~e^{ib} = (cos~a + i~sin~a)( cos~b + i~sin~b) \\[0.1int]
e^{ia} .~e^{ib} = cos~a~cos~b~+~i~cos~a~sin~b~\\
+~i~sin~a~cos~b~-~sin~a~sin~b \\[0.1int]
\end{align*}On regroupe les parties réelles et imaginaires
D’où:
cos (a+b) = cos~ a~ cos~ b - sin~ a~ sin~ b\\
sin (a+b) = cos~ a~ sin~ b + cos~ b~ sin~ a
