Un touriste en ballade sur son bateau décide de jeter son ancre pour la nuit. Avec son sextant il relève un angle de 45° entre le niveau de l’eau et le sommet du phare.
Le phare mesure 40m de haut. Le lendemain matin il renouvelle cette mesure et obtient 60°. Il en conclut donc qu’il s’est rapproché du phare. De combien de mètres s’est-il rapproché ? Sachant que la distance minimale qu’il doit respecter avec le phare est de 25m, doit-il déplacer son bateau ?
Un skipper veut fabriquer une voile à partir de deux morceaux carrés.
Comment fait-il pour fabriquer une voile carrée de 40m² ?
Il faut faire un petit découpage et deux manipulations.
Si on déplace le triangle T1 en haut à droite et le triangle T2 en haut à gauche, on arrive à fabriquer un carré de 40m².
PS: La ~~ longueur ~~ du ~~ côté ~~ de ~~ ce \\ nouveau ~~ carré ~~ est ~~ de ~~ \sqrt{40} ~~ m.
Trouver les dimensions d’un triangle dont l’aire est un entier.
Faire ceci pour un triangle rectangle, un triangle isocèle puis un triangle équilatéral.
Notations: a et b sont des entiers positifs non nuls.
Aire = \frac{1}{2} \times a \times 2b = abIci, la hauteur du triangle isocèle vaut 4a (Théorème de Pythagore).
Aire = 3a \times 4a = 12a²
Aire = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\[0.2int]Ici, l’aire ne peut pas être un nombre entier.
Cependant, si a est de la forme:
a = 2b \sqrt[4]{3}Alors:
Aire = \frac{1}{4}\sqrt{3}a^2 \\[0.3int] Aire = \frac{1}{4}\sqrt{3}(2b\sqrt[4]{3})^2 \\[0.3int] Aire= \frac{1}{4}\sqrt{3} \times 4 b^2 \sqrt{3} \\[0.3int] Aire = 3b^2 \\ P.S.: Il y a plusieurs méthodes et solutions possibles.
Calculer l’aire et le périmètre du polygone ABCDE.
CDE est un triangle équilatéral, donc CD=DE=EC=10 .
BCE est un triangle rectangle en B, BC=6 ; CE=10 et BE=8 . On a bien la relation de Pythagore: 6²+8²=10² .
ABE est un triangle isocèle en B, donc AB=BE=8 .
Périmètre = AB+BC+CD+DE+EA = 8+6+10+10+4 = 38
Le périmètre du polygone ABCDE est égal à 38.
L’aire du triangle CDE est égale à:
5 \times 5 \sqrt{3} = 25 \sqrt{3}L’aire du triangle BCE est égale à:
\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24L’aire du triangle ABE est égale à:
\frac{1}{2} \times 4 \times 2 \sqrt{15} = 4 \sqrt{15}L’aire du polygone ABCDE est égale à :
25 \sqrt{3} + 24 + 4 \sqrt{15} \approx \textbf{82,79...}
AC = BH = 1 \\ [0.1 int] Que ~ vaut ~ AB ~ si: ~ Aire ~ A_1 = Aire ~ A_2
\text{Que vaut AB si:} \quad \mathrm{Aire~A_1 = Aire~A_2 ?} \\[0.2 int] \text{On note} \quad \mathrm{AB=d} ~ \mathrm{\geq0} \\ [0.2 int] \mathrm{JH = \frac{1}{d}} \qquad \text{(Théorème de Thalès)} \\[0.2 int] \mathrm{Aire_{ABC} = A_1 + A_2 = \frac{d}{2}} \\[0.2 int] \mathrm{A_2 = \frac{1}{2d}} \\[0.2 int] \mathrm{Si ~ A_1 = A_2 ~ alors ~ A_1 + A_2 = 2 A_2} \\[0.2 int] \mathrm{d'où ~ \frac{d}{2} = \frac{1}{d}} \\[0.2 int] \mathrm{d² = 2 ~ donc ~ d = \sqrt{2}}\\[0.2 int] \mathrm{AB=d=\sqrt{2}\approx{1,414}}“Correction modifiée pour Jordan ^^”
Moi
On commence par la première ligne: le “triangle” vaut 2, car 2^3 x 3 = 24.
Dans la deuxième ligne, le “disque” vaut 4, car 3 x 2 x 4² = 96.
Donc: 4 + 3 x 2 = 10.
On va calculer les aires une par une en commençant par T1.
Aire_{T_1} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 0,5 \\ [0.15int] Aire_{T_2} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 -Aire_{T_1} \\ [0.15int] Aire_{T_2} = 1 - 0,5 = 0,5 \\ [0.15int] Aire_{T_3} = \frac{1}{2} \times 3 \times 1 -Aire_{T_1} -Aire_{T_2} \\ [0.15int] Aire_{T_3} = 1,5 - 2 \times 0,5 = 0,5 \\ [0.15int] Aire_{T_4} = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 -Aire_{T_1} -Aire_{T_2} -Aire_{T_3} \\ [0.15int] Aire_{T_4}= 2 - 3 \times 0,5 = 0,5 \\ [0.15int] Donc les aires sont égales.
L’ apparition des dés n’est pas déterminée précisément, les dés viennent probablement des os d’animaux (cheville de bœuf…), comme le jeu des osselets. Dans les écrits antiques les jeux de dés et d’osselets semblent se confondre.
Des dés ont été trouvés sur plusieurs sites de l’Indus, datant de 2 400 avant notre ère. Certains de ces dés sont similaires à ceux d’aujourd’hui avec 1 à 6 trous sur les faces des cubes.
Très tôt, les indiens ont été des joueurs de dés. Les grecs utilisaient les dés pour la divination et divers jeux. Ils utilisaient tellement les dés qu’ils pensaient en être les inventeurs.
On retrouve des dés chez plusieurs civilisations.
Aujourd’hui, les dés se présentent sous des formes et des couleurs variées. Ils sont principalement en plastique.
Tétraèdre: 4 faces
Hexaèdre (ou Cube): 6 faces
Octaèdre: 8 faces
Dodécaèdre régulier : 12 faces en forme de pentagone
rhombododécaèdre: 12 faces en forme de losange
lcosaèdre: 20 faces
Zocchièdre: 100 faces
Les solides de Platon.
Quel doit être le diamètre minimal du cercle pour que le carré passe dedans? (arrondir au dixième)
Si la diagonale du carré, notée d, est plus petite que le diamètre du cercle alors le carré peut passer dans le cercle.
D'après ~ le ~ théorème ~ de ~ Pythagore, \\[0.1int] d² = 10² + 10² = 200 \\ d = \sqrt{200} \approx 14,14 ~ cm \\[0.1int] Si ~ le ~ diamètre ~ du ~ cercle ~ mesure \\ au ~ moins ~ 14,2 ~ cm ~ alors~ le \\ carré ~ peut ~ passer ~ dans ~ le ~ cercle. 