Un touriste en ballade sur son bateau décide de jeter son ancre pour la nuit. Avec son sextant il relève un angle de 45° entre le niveau de l’eau et le sommet du phare.
Le phare mesure 40m de haut. Le lendemain matin il renouvelle cette mesure et obtient 60°. Il en conclut donc qu’il s’est rapproché du phare. De combien de mètres s’est-il rapproché ? Sachant que la distance minimale qu’il doit respecter avec le phare est de 25m, doit-il déplacer son bateau ?
« Trigonométrie » veut dire mesure dans un triangle. Le trigone est une autre manière de nommer le triangle.
La trigonométrie est une branche des mathématiques, plus précisément de la géométrie. La trigonométrie établit des relations entre les longueurs et les angles dans les triangles. Elle traite aussi des fonctions trigonométriques telles que sinus, cosinus et tangente.
Les origines de la trigonométrie remontent à l’antiquité, il y a plus de 4000 ans.
Des traces de calculs trigonométriques rudimentaires ont été retrouvées sur la tablette babylonienne Plimpton 322 (1800 avant J.-C.).
La trigonométrie a été développée pour l’astronomie et la navigation, dans un soucis de précision. La première carte de France fut ainsi achevée au 18e siècle.
Chez les grecs et les indiens
Les astronomes grecs, comme Hipparque de Nicée (-190 ; -120) ou Ptolémée (100 – 168) ont construit les premières tables trigonométriques. Ptolémée les publia, vers l’an 150, avec leur mode de construction.
Vers l’an 400, le traité indien d’astronomie Surya Siddhanta, apporte une innovation en trigonométrie.
Les mathématiciens grecs associent la mesure d’une corde à un arc. Les mathématiciens indiens préfèrent associer la demi-corde à un arc, c’est ainsi que la notion de sinus a été créée. Le mathématicien indien Âryabhata, en 499, donne une table des sinus et des cosinus.
En 628, le mathématicien indien Brahmagupta utilise l’interpolation numérique pour calculer la valeur des sinus jusqu’à l’ordre 2.
Plus tard…
C’est dans le monde musulman que la trigonométrie prend le statut de discipline à part entière et se détache de l’astronomie.
En 1220, l’italien Leonardo Fibonacci propose une table trigonométrique dans sa Practica Geometriae. Malheureusement cette table comporte plusieurs erreurs.
Ce n’est qu’à partir du XVe siècle que des mesures trigonométriques précises apparaissent, avec la traduction des œuvres de Ptolémée.
\text{O: côté opposé à l'angle} \\[0.1int] \text{A: côté adjacent à l'angle} \\[0.1int] \text{H: hypoténuse} \\[0.4int]\textbf{Calcul de CB:} \\[0.2int] sin(30°) = \frac{O}{H} = \frac {CB}{AC} = \frac {CB}{70} \\[0.2int] CB= 70 ~ sin (30°) \\[0.2int] CB = 35
\textbf{Calcul de AB:} \\[0.2int] cos(30°) = \frac{A}{H} = \frac {AB}{AC} = \frac {AB}{70} \\[0.2int] AB= 70 ~ cos (30°) \\[0.2int] AB = 35 \sqrt{3} \approx 60,62\textbf{Calcul de} ~ \mathbf{\widehat{ACB}} ~ \textbf{:}\\[0.2int] tan ~ \widehat{ACB} = \frac{O}{A} = \frac {AB}{CB} \\[0.2int] tan ~ \widehat{ACB} = \frac {35\sqrt{3}}{35} = \sqrt{3} \\[0.2int] \widehat{ACB} = arctan(\sqrt{3}) = 60°\textbf{Vérification} \\[0.2int] \text{On vérifie la relation de Pythagore} \\ \text {dans le triangle rectangle en B:} \\[0.2int] AB²+BC² = (35 \sqrt{3})^2 + 35^2 = 4900 \\[0.2int] AC^2 = 70^2 = 4900N.B. : arctan = atan = tan-1 . Les 3 notations existent sur les calculatrices. Idem pour sin et cos.
Un skipper veut fabriquer une voile à partir de deux morceaux carrés.
Comment fait-il pour fabriquer une voile carrée de 40m² ?
Il faut faire un petit découpage et deux manipulations.
Si on déplace le triangle T1 en haut à droite et le triangle T2 en haut à gauche, on arrive à fabriquer un carré de 40m².
P.S.: La ~~ longueur ~~ du ~~ côté ~~ de ~~ ce \\ nouveau ~~ carré ~~ est ~~ de ~~ \sqrt{40} ~~ m.
Trouver les dimensions d’un triangle dont l’aire est un entier.
Faire ceci pour un triangle rectangle, un triangle isocèle puis un triangle équilatéral.
Notations: a et b sont des entiers positifs non nuls.
Aire = \frac{1}{2} \times a \times 2b = abIci, la hauteur du triangle isocèle vaut 4a (Théorème de Pythagore).
Aire = 3a \times 4a = 12a²
Aire = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\[0.2int]Ici, l’aire ne peut pas être un nombre entier.
Cependant, si a est de la forme:
a = 2b \sqrt[4]{3}Alors:
Aire = \frac{1}{4}\sqrt{3}a^2 \\[0.3int] Aire = \frac{1}{4}\sqrt{3}(2b\sqrt[4]{3})^2 \\[0.3int] Aire= \frac{1}{4}\sqrt{3} \times 4 b^2 \sqrt{3} \\[0.3int] Aire = 3b^2 \\ P.S.: Il y a plusieurs méthodes et solutions possibles.
Calculer l’aire et le périmètre du polygone ABCDE.
CDE est un triangle équilatéral, donc CD=DE=EC=10 .
BCE est un triangle rectangle en B, BC=6 ; CE=10 et BE=8 . On a bien la relation de Pythagore: 6²+8²=10² .
ABE est un triangle isocèle en B, donc AB=BE=8 .
Périmètre = AB+BC+CD+DE+EA = 8+6+10+10+4 = 38
Le périmètre du polygone ABCDE est égal à 38.
L’aire du triangle CDE est égale à:
5 \times 5 \sqrt{3} = 25 \sqrt{3}L’aire du triangle BCE est égale à:
\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24L’aire du triangle ABE est égale à:
\frac{1}{2} \times 4 \times 2 \sqrt{15} = 4 \sqrt{15}L’aire du polygone ABCDE est égale à :
25 \sqrt{3} + 24 + 4 \sqrt{15} \approx \textbf{82,79...}AC = BH = 1 \\[0.1 int] Que ~ vaut ~ AB ~ si: ~ Aire ~ A_1 = Aire ~ A_2
\text{Que vaut AB si:} \quad \mathrm{Aire~A_1 = Aire~A_2 ?} \\[0.2 int] \text{On note} \quad \mathrm{AB=d} ~ \mathrm{\geq0} \\[0.2 int] \mathrm{JH = \frac{1}{d}} \qquad \text{(Théorème de Thalès)} \\[0.2 int] \mathrm{Aire_{ABC} = A_1 + A_2 = \frac{d}{2}} \\[0.2 int] \mathrm{A_2 = \frac{1}{2d}} \\[0.2 int] \mathrm{Si ~ A_1 = A_2 ~ alors ~ A_1 + A_2 = 2 A_2} \\[0.2 int] \mathrm{d'où ~ \frac{d}{2} = \frac{1}{d}} \\[0.2 int] \mathrm{d² = 2 ~ donc ~ d = \sqrt{2}}\\[0.2 int] \mathrm{AB=d=\sqrt{2}\approx{1,414}}
Qui n’a pas déjà été intrigué par la beauté et le savoir-faire de la nature? En particulier, par les régularités et les symétries des fleurs. L’étude de l’arrangement des feuilles d’une plante s’appelle: la phyllotaxie (du grec phyllo: feuille et taxis: organisation). Ces arrangements ont des propriétés mathématiques étonnantes. Les scientifiques commencent juste à en décrypter les dessous biologiques. Depuis plus de deux cents ans, des chercheurs allient mathématiques, physique, biologie et informatique pour percer les secrets des plantes.
Le pouvoir organisateur du méristème
Observons au bout des tiges, les zones des plantes qui fabriquent leur phyllotaxie : les méristèmes. Ce sont des tissus spécialisés qui produisent en permanence de nouveaux organes.
L’analyse quantitative de ces motifs géométriques a révélé des propriétés étonnantes.
Il existe différentes phyllotaxies classées selon deux critères : le nombre d’éléments sur un même nœud, et l’angle entre deux éléments successifs. Il existe quatre grands types de phyllotaxies alternes, spiralées, verticillées et multijuguées.
Des études botaniques semblent montrer que les phyllotaxies spiralées sont les plus répandues.
Spirales
On distingue plusieurs spirales dans ces arrangements. La première relie les organes dans l’ordre où ils ont été produits dans le temps (c’est-à-dire par âge), par exemple. Cette spirale génératrice s’enroule autour de la tige, feuille après feuille, comme les marches d’un escalier en colimaçon aplati.
Pomme de pin
Dans une pomme de pin, les éléments dessinent des spirales. Certaines tournent dans un sens et les autres dans l’autre. Si on compte le nombre de ces spirales dans chaque sens, on trouve deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci. Chaque nombre de cette suite est la somme des deux précédents, en partant de 1 et 1 on a: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
Ainsi, une pomme de pin fait en général apparaître 8 spirales dans un sens et 13 dans l’autre, une marguerite 21 spirales dans un sens et 34 dans l’autre, etc.
L’angle d’or
Identifiée et étudiée pour la première fois par Léonard de Pise (Leonardo Fibonacci) au XIIIe siècle, cette suite a de très nombreuses propriétés mathématiques. En particulier, si l’on considère la suite constituée des rapports successifs entre deux termes consécutifs (suite des ratios de Fibonacci) : 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, …, celle-ci converge et tend vers (1+√5)/2, c’est-à-dire le nombre d’or ϕ (égal à environ 1,618). Pendant des siècles, ce nombre a été considéré comme harmonieux, voir divin. Pour les plantes, le nombre d’or est dissimulé dans le rapport de deux angles successifs (phyllotaxie spiralée).
Théorie
Calcul de valeurs plus complexes
